Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{24}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{24} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{24} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Combina $6$ y $\frac{1}{24}$ .

$\frac{6}{24} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{6}{24}$ y $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $6$ y $24$ .

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $6$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $6$ de $24$ .

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{15} x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{15}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{- 4}{15}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4 x^{- 5}}{15} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3.5

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.5

Combina $\frac{- 5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 1.4.6.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.4.6.2.4

Divide $- x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 (- x^{- 2})$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 x^{- 2}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.6.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 1.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.6.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{5}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.4.10

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- \frac{4}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{15 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 2.5.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 2.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 2.5.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 6})$

Paso 2.5.8

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + 5 (\frac{4}{15}) x^{- 6}$

Paso 2.5.9

Combina $5$ y $\frac{4}{15}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{15} x^{- 6}$

Paso 2.5.10

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15} x^{- 6}$

Paso 2.5.11

Combina $\frac{20}{15}$ y $x^{- 6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20 x^{- 6}}{15}$

Paso 2.5.12

Mueve $x^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15 x^{6}}$

Paso 2.5.13

Cancela el factor común de $20$ y $15$ .

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Paso 2.5.13.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{15 x^{6}}$

Paso 2.5.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.13.2.1

Factoriza $5$ de $15 x^{6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{5 (3 x^{6})}$

Paso 2.5.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{5 (3 x^{6})}$

Paso 2.5.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Paso 2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Paso 2.6.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.3

Combina $4$ y $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{20}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $4$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $4$ de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.2.6.2.4

Divide $5 x^{3}$ por $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{3 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Paso 3.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 3.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Paso 3.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Paso 3.5.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Paso 3.5.7

Multiplica $x^{- 12}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1

Mueve $x^{5}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Paso 3.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{5 - 12})$

Paso 3.5.7.3

Resta $12$ de $5$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 7})$

Paso 3.5.8

Combina $- 6$ y $\frac{4}{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 6 \cdot 4}{3} x^{- 7}$

Paso 3.5.9

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3} x^{- 7}$

Paso 3.5.10

Combina $\frac{- 24}{3}$ y $x^{- 7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24 x^{- 7}}{3}$

Paso 3.5.11

Mueve $x^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3 x^{7}}$

Paso 3.5.12

Cancela el factor común de $- 24$ y $3$ .

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Paso 3.5.12.1

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Paso 3.5.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.12.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (x^{7})}$

Paso 3.5.12.2.2

Cancela el factor común.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Paso 3.5.12.2.3

Reescribe la expresión.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 8}{x^{7}}$

Paso 3.5.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} - \frac{8}{x^{7}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Paso 3.6.2

Combina los términos.

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Paso 3.6.2.1

Combina $- 12$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{- 12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Paso 3.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = 5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$