Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{- 4 x + 5}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- 4 x + 5}$ como ${(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = - 4 x + 5$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 4 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x + 5$ .

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(- 4 x + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(- 4 x + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(- 4 x + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(- 4 x + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.10

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 4.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 + 0)$

Paso 4.12

Combina fracciones.

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Paso 4.12.1

Suma $- 4$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 4$

Paso 4.12.2

Combina $\frac{1}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ y $- 4$ .

$\frac{- 4}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.12.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{4}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{3 {(- 4 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$