Cálculo Ejemplos

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 1 + 10000$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $10000$ .

$u_{lower} = 10001$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $1 + t^{2}$ y en $10001$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 8.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 8.2.3

Factoriza $2$ de $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 8.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 8.2.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 8.2.4.4

Divide ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.2

Reescribe ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.3

A medida que $t$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $10001^{\frac{1}{2}}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.5

Infinito más o menos un número es infinito.

$\infty$