Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} a^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} a^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{a^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{a^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{a^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $a$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} \ln (a) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} \ln (a) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Suma $a^{x} \ln (a)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{x} \ln (a)}{1}$

Paso 1.4

Divide $a^{x} \ln (a)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} a^{x} \ln (a)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\ln (a)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (a) lim_{x \to 0} a^{x}$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (a) a^{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (a) a^{0}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\ln (a) \cdot 1$

Paso 4.2

Multiplica $\ln (a)$ por $1$ .

$\ln (a)$