Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Paso 1

Divide $3 x^{2} + 2 x + 1$ por $x + 2$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + 6 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x - 8$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Paso 7

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 8

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 8.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Paso 8.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Paso 8.5

Suma $1$ y $2$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 10.2

Evalúa $- 4 x$ en $1$ y en $- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 10.3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $3$ y en $1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.4

Resta $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.5

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.4.5.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.5.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.6

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.9

Resta $4$ de $- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.4.10

Resta $8$ de $0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Paso 12.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Paso 12.3

Divide $3$ por $1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Forma decimal:

$1.88751059 \dots$

Paso 14