Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Paso 1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Paso 1.3

Como el exponente $1 - x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{1 - x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \cdot - 1}$

Paso 3.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 e^{1 - x}}$

Paso 3.11

Reescribe $- 1 e^{1 - x}$ como $- e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{1 - x}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Paso 5.1.3

Como la función $e^{1 - x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

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Paso 5.1.3.1

Considera el límite con el múltiplo constante $- 1$ eliminado.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Paso 5.1.3.2

Como el exponente $1 - x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{1 - x}$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 5.1.3.3

Como la función $e^{1 - x}$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 5.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 5.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Paso 5.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{1 - x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Paso 5.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 5.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 5.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 5.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 5.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 5.3.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 5.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.10

Multiplica $e^{1 - x}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \cdot 1}$

Paso 5.3.12

Multiplica $e^{1 - x}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{1 - x}}$ se acerca a $0$ .

$2 \cdot 0$

Paso 7

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$