Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (x - 3) + 14 x + 4}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (x - 3) + 14 x + 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (x - 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 6

Mueve el término $14$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Paso 8

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5}}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sin (3 - 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{\sin (0) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.4

Multiplica $14$ por $3$ .

$\frac{0 + 42 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.5

Suma $0$ y $42$ .

$\frac{42 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.6

Suma $42$ y $4$ .

$\frac{46}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{46}{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{46}{\sqrt{9 - 5}}$

Paso 13.2.3

Resta $5$ de $9$ .

$\frac{46}{\sqrt{4}}$

Paso 13.2.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{46}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 13.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{46}{2}$

Paso 13.3

Divide $46$ por $2$ .

$23$