Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x + 1}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{4}{x^{2} - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{2}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 1) (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{4}{x^{2} - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 1 + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.1.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.10.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1 \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Paso 2.1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Paso 2.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.8.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Paso 2.1.3.8.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x + 1)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (x^{2} - 1)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 4 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 2.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

Paso 2.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Paso 2.3.16

Multiplica $x^{2} - 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17

Simplifica.

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Paso 2.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3

Combina los términos.

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Paso 2.3.17.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17.3.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.7.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.7.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.7.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Paso 3.1.3.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 3.1.3.7.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.5

Suma $4$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + 0}$

Paso 3.3.10

Suma $6 x + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $4$ y $6 x + 2$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{6 x + 2}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2 (1)}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Paso 3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x + 1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x + 1}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 4.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot - 1 + 1}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{- 3 + 1}$

Paso 6.1.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$2 (\frac{1}{- 2})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{1}{2 (- 1)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 1}$

Paso 6.3

Divide $1$ por $- 1$ .

$- 1$