Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Paso 1.3.2

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Paso 2

Calcula la derivada de $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Suma $3$ y $0$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 5.2.3

Combina $3$ y $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 7.2.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

Paso 7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Reescribe ${(3 x + 2)}^{2}$ como $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

Paso 7.4.2

Expande $(3 x + 2) (3 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Paso 7.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Paso 7.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

Paso 7.4.3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

Paso 7.4.4

Suma $- 3 x$ y $12 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

Paso 7.4.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

Paso 7.4.6

Reordena los términos.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

Paso 7.4.7

Factoriza $3$ de $9 x^{2} + 9 x + 3$ .

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Paso 7.4.7.1

Factoriza $3$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

Paso 7.4.7.2

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

Paso 7.4.7.3

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Paso 7.4.7.4

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Paso 7.4.7.5

Factoriza $3$ de $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$