Cálculo Ejemplos

$- 1 = 5 x^{2} + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 1) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} + x y)$

Paso 2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$10 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x + x y' + y \cdot 1$

Paso 3.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$10 x + x y' + y$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$x y' + 10 x + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = x y' + 10 x + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x y' + 10 x + y = 0$ .

$x y' + 10 x + y = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y = - 10 x$

Paso 5.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' = - 10 x - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' = - 10 x - y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' = - 10 x - y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 10 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 10 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 10 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Divide $- 10$ por $1$ .

$y' = - 10 + \frac{- y}{x}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - 10 - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 10 - \frac{y}{x}$