Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Paso 1.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 12$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $12$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

Paso 6.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

Paso 6.2.6

Suma $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.8

Combina $\frac{2}{2}$ y $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6.2.10

Divide $12^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$12^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$3.46410161 \dots$

Paso 8