Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Paso 2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Paso 2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Paso 2.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Paso 2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

Paso 2.1.6

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.8

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $4 \cdot 3$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Paso 2.2.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

Paso 2.4.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

Paso 2.5

Suma $6$ y $16$ .

$\frac{22 + 27}{12}$

Paso 2.6

Suma $22$ y $27$ .

$\frac{49}{12}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{49}{12}$

Forma decimal:

$4.08\overline{3}$

Forma de número mixto:

$4 \frac{1}{12}$