Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $e$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1.1

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Simplifica.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $e$ de $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} - e$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Suma $x e^{x} + e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5.3

Reordena los factores en $e^{x} x + e^{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Divide $1 \cdot e^{1} + e^{1}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (1 \cdot e^{1} + e^{1})$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{1} + e^{1})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} (e + e^{1})$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$\frac{1}{2} (e + e)$

Paso 4.3

Suma $e$ y $e$ .

$\frac{1}{2} (2 e)$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 e$ .

$\frac{1}{2} (2 (e))$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 e)$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$e$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$