Cálculo Ejemplos

$\arctan (x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

Paso 2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

Paso 3.2.2

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 3.2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

Paso 3.2.3.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

Paso 3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$