Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 - 3 x$ y $g (x) = 3 + x^{2}$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \cdot 1) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \cdot - 3 - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $3 + x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (2 x)}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} + (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 x)) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x + 6 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Suma $- 3 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\frac{- 9 + 3 x^{2} - 4 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$