Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ como ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 4 y^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.6.2.2

Mueve ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Paso 3.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Paso 3.6.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ .

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $1 + 8 y y'$ por $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica $\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común de ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.4.1

Mueve $y$ .

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reordena $1$ y $8 y' y$ .

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Resuelve $y'$

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Paso 6.3.1

Resta $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 6.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Paso 6.3.3

Factoriza $2 y'$ de $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $2 y'$ de $8 y' y$ .

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Paso 6.3.3.2

Factoriza $2 y'$ de $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Paso 6.3.3.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Paso 6.3.4

Reescribe $- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Paso 6.3.5

Divide cada término en $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 6.3.5.1

Divide cada término en $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $8 y$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.2.4

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.5.3.1

Factoriza $2$ de $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.5.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 y$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.5.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.5.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$