Cálculo Ejemplos

$y^{3} - x y^{2} + x^{3} = 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y^{3} - x y^{2} + x^{3}) = \frac{d}{d y} (5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - x y^{2} + x^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y^{2}$ .

$3 y^{2} - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} - (2 x y) - (y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x'$

Paso 3

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $- y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $- y^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ por $- y^{2} + 3 x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ por $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y$ de $- 3 y^{2} + 2 x y$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + y (2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (- 3 y) + y (2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 3 y + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) - (- 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 y) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- (3 y - 2 x)$ como $- 1 (3 y - 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) - (- 3 x^{2})}$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2} - 3 x^{2})}$

Paso 5.3.3.10

Reescribe $- (y^{2} - 3 x^{2})$ como $- 1 (y^{2} - 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Paso 5.3.3.11

Cancela el factor común.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Paso 5.3.3.12

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$