Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{2 x - 5} - 4$

Paso 1

Escribe $\frac{3}{2 x - 5} - 4$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{2 x - 5} - 4 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{3}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Paso 6

Sea $u = 2 x - 5$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - 4 d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - 4 d x$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$3 \int \frac{1}{2 u} d u + \int - 4 d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int - 4 d x$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - 4 d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - 4 d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) - 4 x + C$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{3}{2} \ln (| u |) - 4 x + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 5$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$