Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.5

Suma $- \sin (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide $- \sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x)$

Paso 4.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x)$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \sin (0)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 0$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$