Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (1 - x^{2})$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2})] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x)) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{- 2}{1 - x^{2}} x - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Combina $x$ y $\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{x \cdot - 2}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.4.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 1) \frac{- 2 \cdot x}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1^{2} - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.4

Multiplica $- 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)})$ .

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Paso 4.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1 \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.4.2

Multiplica $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.5

Multiplica $- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Paso 4.1.1.5.1

Combina $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ y $x$ .

$\frac{- \frac{2 x \cdot x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x^{1})}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \frac{2 x^{1 + 1}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \ln (1 - x^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2}) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina $- \ln (1 - x^{2})$ y $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 (1 - x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x \cdot x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.6.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - (x \cdot x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1 - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.5

Multiplica $- \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})$ .

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Paso 4.1.6.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + 1 \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6.5.2

Multiplica $\ln (1 - x^{2})$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.7

Reordena los factores en $2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$ como un producto.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$ por $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - x) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x)) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1 + x)) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.6

Reordena los términos.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 (x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.7

Multiplica $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.7.1

Mueve ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} (x - 1))}$

Paso 4.2.7.2

Multiplica ${(x - 1)}^{2}$ por $x - 1$ .

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Paso 4.2.7.2.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1})}$

Paso 4.2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{2 + 1}}$

Paso 4.2.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- 1 \cdot (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.2.9

Reescribe $- 1 (1 + x)$ como $- (1 + x)$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) {(x - 1)}^{3}}$