Cálculo Ejemplos

$x = \sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$ como ${(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d θ} [{(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ y $g (θ) = \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

Paso 8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ es $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ donde $f (θ) = 1 + \cos (θ)$ y $g (θ) = 1 - \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 + \cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 9

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 9.2

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 9.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 10

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11.2

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11.5

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + 1 (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 11.5.2

Multiplica $1 + \cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 12

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 13

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Multiplica $\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 13.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 \cdot {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 14.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.2

Reescribe $- 1 \sin (θ)$ como $- \sin (θ)$ .

$\frac{- \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (θ) + 1 \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.4

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.6

Reescribe $- 1 \sin (θ)$ como $- \sin (θ)$ .

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.7

Resta $\sin (θ)$ de $- \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.8

Suma $\cos (θ) \sin (θ)$ y $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.8.1

Reordena $\cos (θ)$ y $- 1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.8.2

Resta $\cos (θ) \sin (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.9

Resta $2 \sin (θ)$ de $0$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.10.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (θ)$ .

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.10.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - \cos (θ))}^{2}$ .

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 ({(1 - \cos (θ))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.12

Multiplica $\frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} \sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2}}$

Paso 14.5.13

Mueve ${(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 14.5.14

Multiplica ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ por ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.14.1

Mueve ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2})}$

Paso 14.5.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Paso 14.5.14.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 14.5.14.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Paso 14.5.14.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Paso 14.5.14.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.14.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Paso 14.5.14.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{3}{2}}}$