Cálculo Ejemplos

$\int (x^{3} + 5 x^{2} - 2) e^{2 x} d x$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{3} e^{2 x} d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = e^{2 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 4.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2} \cdot 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot 3$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.4

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.5

Combina $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ y $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 8.6.2

Divide $e^{2 x} x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 10.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 12

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 13

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 16

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 17

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 \int x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 18

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19.4

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19.5

Combina $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ y $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 19.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.6.1

Cancela el factor común.

Paso 19.6.2

Divide $e^{2 x} x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 20

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 21.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 21.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

Paso 22

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 23

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 23.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 23.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 23.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 23.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 23.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 23.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 24

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 25

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 26.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Paso 27

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

Paso 28

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

Paso 29

Sea $u_{3} = 2 x$ . Entonces $d u_{3} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 29.1

Deja $u_{3} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 29.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 29.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 29.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 29.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 29.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 30

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Paso 31

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Paso 32

Simplifica.

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Paso 32.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 32.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 32.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 32.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 32.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 32.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 32.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 1}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 32.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

Paso 33

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

Paso 34

Simplifica.

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Paso 34.1

Simplifica.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2

Simplifica.

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Paso 34.2.1

Para escribir $\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 34.2.2.1

Multiplica $\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 10 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.5

Suma $- 3 x^{2} e^{2 x}$ y $10 x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.6

Para escribir $- \frac{5 x e^{2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 34.2.7.1

Multiplica $\frac{5 x e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.9

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 10 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.10

Resta $10 x e^{2 x}$ de $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{- 7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.12

Para escribir $\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} \cdot \frac{2}{2} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 34.2.13.1

Multiplica $\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{4 \cdot 2} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.13.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.15

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 10 e^{u_{2}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.16

Suma $- 3 e^{u_{1}}$ y $10 e^{u_{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

Paso 34.2.17

Para escribir $- e^{u_{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Paso 34.2.18

Combina $- e^{u_{3}}$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} + \frac{- e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

Paso 34.2.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

Paso 34.2.20

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - 8 e^{u_{3}}}{8} + C$

Paso 34.2.21

Resta $8 e^{u_{3}}$ de $7 e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- e^{u_{1}}}{8} + C$

Paso 34.2.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{8} + C$

Paso 35

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x}}{8} + C$

Paso 36

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{3} e^{2 x} + \frac{7}{4} x^{2} e^{2 x} - \frac{7}{4} x e^{2 x} - \frac{1}{8} e^{2 x} + C$