Cálculo Ejemplos

$\frac{3 + 2 x^{2}}{1 - 5 x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 + 2 x^{2}$ y $g (x) = 1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - 5 x^{2}) (2 x) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.12

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) (2 x)}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2})) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + (10 \cdot 3 + 10 (2 x^{2})) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x \cdot x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x^{1} x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{1 + 2}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{3}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $10$ por $3$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x \cdot x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{3})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.6

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $- 20 x^{3}$ y $20 x^{3}$ .

$\frac{4 x + 30 x + 0}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Suma $4 x + 30 x$ y $0$ .

$\frac{4 x + 30 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $4 x$ y $30 x$ .

$\frac{34 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{34 x}{{(- 5 x^{2} + 1)}^{2}}$