Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.10

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.10.2

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2}{0 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 4.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$