Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Escribe $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ como una función.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 4

Sea $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Entonces $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 4.1.4.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 4.1.4.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 4.1.4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Paso 7

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$