Cálculo Ejemplos

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- {(t - 3)}^{2}$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Paso 2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- {(t - 3)}^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t - 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Paso 4.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

Paso 5.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$