Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{\sin (20 x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{\sin (20 x)})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (20 x)}$ a $\csc (20 x)$ .

$\frac{d}{d y} [\csc (20 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \csc (y)$ y $g (y) = 20 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $20 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d y} [20 x]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d y} [20 x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 x$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [20 x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $y$ es $20 \frac{d}{d y} [x]$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) (20 \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.2

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$

Paso 3.5

Reordena los factores de $- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ por $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ por $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ .

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\cot (20 x)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $\csc (20 x)$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\cot (20 x)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $\cot (20 x)$ en términos de senos y cosenos.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$

Paso 5.2.3.4

Convierte de $\frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$ a $\tan (20 x)$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.5

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\csc (20 x)} \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.6

Reescribe $\csc (20 x)$ en términos de senos y cosenos.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (20 x)}} \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20} (1 \sin (20 x)) \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.8.1

Multiplica $\sin (20 x)$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{1}{20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.9

Combina $\sin (20 x)$ y $\frac{1}{20}$ .

$x' = - \frac{\sin (20 x)}{20} \tan (20 x)$

Paso 5.2.3.10

Combina $\tan (20 x)$ y $\frac{\sin (20 x)}{20}$ .

$x' = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$