Cálculo Ejemplos

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $t = \frac{1}{2}$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 t^{- 4}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

Paso 1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 3}{t^{4}}$

Paso 1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{t^{4}}$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

Paso 1.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

Paso 1.4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

Paso 1.4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (3 \cdot 16)$

Paso 1.4.3

Multiplica $- (3 \cdot 16)$ .

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $3$ por $16$ .

$- 1 \cdot 48$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$- 48$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 48$ y un punto dado $(\frac{1}{2}, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 48$ .

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 24$ por $- 1$ .

$y - 8 = - 48 x + 24$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 48 x + 24 + 8$

Paso 2.3.2.2

Suma $24$ y $8$ .

$y = - 48 x + 32$

Paso 3