Cálculo Ejemplos

$2 e^{3 t} - e^{2 t}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{3 t} - e^{2 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 e^{3 t}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t$ .

$2 (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- e^{2 t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$6 e^{3 t} - \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 e^{3 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \cdot 2)$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - (2 \cdot e^{2 t})$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t}$