Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Paso 1

Escribe $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{3}{20}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{20} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{20}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{15}{20}$ y $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $20$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.5

Combina $\frac{12}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $4$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.4

Divide $3 x^{3}$ por $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{3} - 24 x^{2}$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{3} - 24 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x) - 24 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8)$ .

$3 x^{2} (x - 8) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x^{2} (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 8$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{20}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $8$ en $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot {(8)}^{5} - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $5$ .

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$f (8) = \frac{3}{4 (5)} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $4$ de $32768$ .

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (8) = \frac{3}{5} \cdot 8192 - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{3}{5}$ y $8192$ .

$f (8) = \frac{3 \cdot 8192}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $3$ por $8192$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 \cdot 4096$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $4096$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- 8192$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.3

Combina $- 8192$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} + \frac{- 8192 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (8) = \frac{24576 - 8192 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $- 8192$ por $5$ .

$f (8) = \frac{24576 - 40960}{5}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $40960$ de $24576$ .

$f (8) = \frac{- 16384}{5}$

Paso 4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (8) = - \frac{16384}{5}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{16384}{5}$ .

$- \frac{16384}{5}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $8$ en $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ es $(8, - \frac{16384}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(8, - \frac{16384}{5})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (8, - \frac{16384}{5})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 3 {(- 0.1)}^{3} - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 3 \cdot - 0.001 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 \cdot 0.01$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.24$

Paso 6.2.2

Resta $0.24$ de $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.243$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.243$ .

$- 0.243$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.243$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 8)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = 3 {(4)}^{3} - 24 {(4)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = 3 \cdot 64 - 24 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$f'' (4) = 192 - 24 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 16$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $16$ .

$f'' (4) = 192 - 384$

Paso 7.2.2

Resta $384$ de $192$ .

$f'' (4) = - 192$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 192$ .

$- 192$

Paso 7.3

En $4$ , la segunda derivada es $- 192$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 8)$ .

Decrecimiento en $(0, 8)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(8, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $8.1$ en la expresión.

$f'' (8.1) = 3 {(8.1)}^{3} - 24 {(8.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $8.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8.1) = 3 \cdot 531.441 - 24 {(8.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $531.441$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 {(8.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $8.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 \cdot 65.61$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $65.61$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 1574.64$

Paso 8.2.2

Resta $1574.64$ de $1594.323$ .

$f'' (8.1) = 19.683$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $19.683$ .

$19.683$

Paso 8.3

En $8.1$ , la segunda derivada es $19.683$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(8, \infty)$ .

Incremento en $(8, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(8, - \frac{16384}{5})$ .

$(8, - \frac{16384}{5})$

Paso 10