Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{3 + 4 x^{2}} (8 x) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina $8$ y $\frac{1}{3 + 4 x^{2}}$ .

$\int \frac{8}{3 + 4 x^{2}} \cdot x d x$

Paso 1.2

Combina $\frac{8}{3 + 4 x^{2}}$ y $x$ .

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u = 3 + 4 x^{2}$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 + 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$0 + 8 x$

Paso 3.1.4

Suma $0$ y $8 x$ .

$8 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Paso 4.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$