Cálculo Ejemplos

$x (t) = t^{2} - 4 t$ y $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = t^{2} - 4 t$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $t^{2} - 4 t = x$ .

$t^{2} - 4 t = x$

Paso 3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} - 4 t - x = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.3

Agrega paréntesis.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3.3

Agrega paréntesis.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3.3

Agrega paréntesis.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Paso 10

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Paso 11

Simplifica $2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Multiplica $- 6$ por cada elemento de la matriz.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Paso 11.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Paso 11.1.2.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Paso 11.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Paso 11.1.2.4

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Paso 11.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Paso 11.2

Simplifica con la conmutatividad.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Reordena $- 4$ y $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Paso 11.2.2

Reordena $- 4$ y $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Paso 11.2.3

Reordena $- 4$ y $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Paso 11.2.4

Reordena $- 4$ y $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$