Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Paso 6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $x e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Paso 7.2

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3.5

Suma $e$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Paso 7.3.6

Simplifica.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Paso 7.3.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Paso 7.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Paso 8.2

Resta $e$ de $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Paso 8.3

Suma $0$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Paso 9.2

Suma $1$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Paso 10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Paso 10.1.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Paso 10.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$A (x) = 1$

Paso 11