Cálculo Ejemplos

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Entonces $d u = (2 x + 4) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$2 x + 4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$