Cálculo Ejemplos

$x^{2} - 12 x + 84 = - y^{2} + 16 y$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} = 16 y$

Paso 1.2

Resta $16 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} - 16 y = 0$

Paso 1.3

Mueve $84$ .

$x^{2} - 12 x + y^{2} - 16 y + 84 = 0$

Paso 1.4

Mueve $- 12 x$ .

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y + 84 = 0$

Paso 2

Resta $84$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - 12 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Divide $144$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Paso 3.4.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 6)}^{2} - 36$ .

${(x - 6)}^{2} - 36$

Paso 4

Sustituye ${(x - 6)}^{2} - 36$ por $x^{2} - 12 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ .

${(x - 6)}^{2} - 36 + y^{2} - 16 y = - 84$

Paso 5

Mueve $- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

${(x - 6)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 84 + 36$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} - 16 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$d = - 8$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $256$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 6.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 8)}^{2} - 64$ .

${(y - 8)}^{2} - 64$

Paso 7

Sustituye ${(y - 8)}^{2} - 64$ por $y^{2} - 16 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 84 + 36$

Paso 8

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 84 + 36 + 64$

Paso 9

Simplifica $- 84 + 36 + 64$ .

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Paso 9.1

Suma $- 84$ y $36$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 48 + 64$

Paso 9.2

Suma $- 48$ y $64$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 16$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 4$

$h = 6$

$k = 8$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(6, 8)$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(6, 8)$

Radio: $4$

Paso 14