Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{3} - 15 x = x$

Paso 1.2

Resuelve $x^{3} - 15 x = x$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Paso 1.2.1.2

Resta $x$ de $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 16 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4, 4$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$y = - 4$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis.

$y = - 4$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = 4$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis.

$y = 4$

Paso 1.6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 4$ y $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Paso 3.2

Resta $x$ de $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Paso 3.5

Dado que $- 16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 16$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Paso 3.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Paso 3.7.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4}$ en $0$ y en $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Paso 3.7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.4

Multiplica $256$ por $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.5

Combina $- 256$ y $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6

Cancela el factor común de $- 256$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.6.1

Factoriza $4$ de $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6.2.4

Divide $- 64$ por $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.7

Resta $64$ de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.10

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Paso 3.7.2.3.11

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.11.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Paso 3.7.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Paso 3.7.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Paso 3.7.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Paso 3.7.2.3.11.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Paso 3.7.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Paso 3.7.2.3.13

Resta $8$ de $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Paso 3.7.2.3.14

Multiplica $- 16$ por $- 8$ .

$- 64 + 128$

Paso 3.7.2.3.15

Suma $- 64$ y $128$ .

$64$

Paso 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $0$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 15$ por $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Paso 5.3

Suma $x$ y $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Paso 5.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Paso 5.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Paso 5.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Paso 5.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Paso 5.8

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Paso 5.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.10

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.10.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $4$ y en $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.10.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.2

Cancela el factor común de $256$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.2.2.4

Divide $64$ por $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.6

Suma $64$ y $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.9

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.9.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.9.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.10.2.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Paso 5.10.2.3.11

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.11.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 5.10.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.2.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.10.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.10.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Paso 5.10.2.3.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Paso 5.10.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Paso 5.10.2.3.13

Suma $8$ y $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Paso 5.10.2.3.14

Multiplica $16$ por $8$ .

$- 64 + 128$

Paso 5.10.2.3.15

Suma $- 64$ y $128$ .

$64$

Paso 6

Suma $64$ y $64$ .

$128$

Paso 7