Cálculo Ejemplos

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Paso 1

Escribe $x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ como una función.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{\frac{x}{3}}$ .

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

Paso 7

Sea $u = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 7.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

Paso 8.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

Paso 9

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

Paso 10

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

Paso 12

Reescribe $x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ como $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ .

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$