Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (7)} \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

Paso 1

Sea $u = e^{x} + 2$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = e^{x} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{x} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$e^{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = e^{x} + 2$ .

$u_{lower} = e^{0} + 2$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = e^{x} + 2$ .

$u_{upper} = e^{\ln (7)} + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$u_{upper} = 7 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $7$ y $2$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $9$ y en $3$ .

$\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Paso 5.3

Divide $9$ por $3$ .

$\ln (3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (3)$

Forma decimal:

$1.09861228 \dots$

Paso 7