Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} d x \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Paso 1

Evalúa $\int_{2}^{4} d x$ .

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Paso 1.1

Aplica la regla de la constante.

$x]_{2}^{4} \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Paso 1.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 1.2.1

Evalúa $x$ en $4$ y en $2$ .

$((4) - 2) \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Paso 1.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$2 \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Paso 2

Evalúa $\int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$ .

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Paso 2.1

Dado que $\frac{1}{3 x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{3 x}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{3 x} \int_{x}^{2 x} y d y)$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{2 x})$

Paso 2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.1

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x})$

Paso 2.3.1.2

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}$ .

$2 \frac{\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}}{3 x}$

Paso 2.3.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $2 x$ y en $x$ .

$2 \frac{(\frac{{(2 x)}^{2}}{2}) - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 \frac{\frac{{(2 (x))}^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$2 \frac{\frac{2^{2} x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{\frac{2 x^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.4.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{2 x^{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.5

Para escribir $2 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.6

Combina $2 x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2} - x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.9

Resta $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$

Paso 2.3.2.2.10

Reescribe $\frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$ como un producto.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3 x})$

Paso 2.3.2.2.11

Multiplica $\frac{3 x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (3 x)}$

Paso 2.3.2.2.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{6 x}$

Paso 2.3.2.2.13

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.3.2.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{6 x}$

Paso 2.3.2.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.13.2.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{3 (2 x)}$

Paso 2.3.2.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 x^{2}}{3 (2 x)}$

Paso 2.3.2.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{x^{2}}{2 x}$

Paso 2.3.2.2.14

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.2.2.14.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot x}{2 x}$

Paso 2.3.2.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.14.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{x}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$2 (\frac{1}{2} x)$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$2 \frac{x}{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 x}{2}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2}$

Paso 3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x$