Cálculo Ejemplos

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Paso 5

Sea $u = y + 9$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = y + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 9$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 5.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Paso 5.3

Suma $- 8$ y $9$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Paso 5.5

Suma $0$ y $9$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2}$ en $0$ y en $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.4

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.5

Combina $- 64$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6

Cancela el factor común de $- 64$ y $2$ .

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Paso 8.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.4

Divide $- 32$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.7

Resta $32$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.8

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9

Cancela el factor común de $- 32$ y $8$ .

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Paso 8.3.9.1

Factoriza $8$ de $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.9.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.11

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.12.1

Cancela el factor común.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.12.2

Reescribe la expresión.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.13

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.14

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.15

Multiplica $2$ por $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 8.3.16.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.16.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.16.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 8.3.18

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Paso 8.3.19

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 8.3.20

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 8.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 8.3.22

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.22.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Paso 8.3.22.2

Resta $2$ de $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Paso 8.3.23

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Paso 8.3.24

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Paso 8.3.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Paso 8.3.26

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.26.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Paso 8.3.26.2

Suma $- 12$ y $52$ .

$\frac{40}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{40}{3}$

Forma decimal:

$13.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$13 \frac{1}{3}$

Paso 10