Cálculo Ejemplos

$x^{y} = e^{x - y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

Paso 5.2

Simplifica $e^{x - y} (1 - y')$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Paso 5.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $e^{x - y}$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Paso 5.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Paso 5.2.2.3

Reordena los factores en $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Paso 5.3

Suma $y' e^{x - y}$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Paso 5.4

Resta $y x^{y - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $y' x^{y} \ln (x)$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $y' e^{x - y}$ .

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ .

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ por $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ por $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$