Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + x^{2} - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 1^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 + 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 + 1 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x + x^{2} - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Suma $3 + 2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 3}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 x + 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + 3$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 lim_{x \to 1} x + 3$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \cdot 1 + 3$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 3$

Paso 4.2

Suma $2$ y $3$ .

$5$