Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 4

Divide $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Paso 4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Paso 10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Paso 11

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 11.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 11.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Paso 11.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 11.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 11.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 11.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 11.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 11.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 11.1.5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 11.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 11.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 11.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.6.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 11.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 11.1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Paso 11.1.6.2

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 11.1.6.2.1

Factoriza $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Paso 11.1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 11.1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 11.1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Paso 11.1.6.2.2.4

Divide $B (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Paso 11.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Paso 11.1.6.4

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A + B x + B$

Paso 11.1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Paso 11.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 11.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B$

Paso 11.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 11.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Paso 11.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 11.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Paso 11.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 11.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = A + B$ por $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Paso 11.3.2.2

Simplifica $1 = A + 0$ .

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Paso 11.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Paso 11.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.2.2.2.1

Suma $A$ y $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Paso 11.3.3

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Paso 11.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 1 B = 0$

Paso 11.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = 0$

Paso 11.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Divide $0$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Paso 11.5.2

Elimina el cero de la expresión.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Paso 12

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 12.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 13

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 13.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 13.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 13.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 13.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$