Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.2

Suma $- 6$ y $7$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Paso 1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 1.3.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Paso 1.3.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

Paso 1.3.3.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

Paso 1.3.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (2 x + 7)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x + 7$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{2 x + 7}$ y $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.10

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{4}{2 x + 7}$ y $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.13

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \tan (- 6 - 2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = - 6 - 2 x$ .

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Paso 3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Paso 3.14.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Paso 3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Paso 3.15

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

Paso 3.16

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Paso 3.17

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Paso 3.18

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 3.19

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.20

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 3.22

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{8}{2 x + 7}$ por $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $8$ y $- 4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 9

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 13

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Paso 14

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

Paso 15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Paso 16

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 17

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 18

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Paso 19

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 19.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Paso 19.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Paso 20

Simplifica la respuesta.

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Paso 20.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 20.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Paso 20.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2

Simplifica el denominador.

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Paso 20.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2.2

Suma $- 6$ y $7$ .

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2.3

Multiplica $\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ por $1$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2.4.2

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Paso 20.2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

Paso 20.2.4.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

Paso 20.2.5

Suma $- 6$ y $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

Paso 20.2.6

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

Paso 20.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (- \frac{1}{1})$

Paso 20.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 20.3.1

Cancela el factor común.

$2 (- \frac{1}{1})$

Paso 20.3.2

Reescribe la expresión.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 20.4

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 20.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Paso 20.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2$