Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{\ln (5)}$ y $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{\ln (5)}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{\ln (5)}$ fuera de la integral.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Paso 4

La integral de $5^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.2

Evalúa $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Evalúa el exponente.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.6

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.7

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.10

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Paso 5.2.3.11

Reescribe $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ como un producto.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Paso 5.2.3.12

Multiplica $\frac{4}{\ln (5)}$ por $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Paso 5.2.3.13

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Paso 5.2.3.14

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Paso 5.2.3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.3.16

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Forma decimal:

$1.56244626 \dots$

Paso 7