Cálculo Ejemplos

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u = x + 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.1.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Paso 3

Expande $(u - 6) u^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Paso 3.4

Suma $1$ y $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Paso 6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 8

Simplifica.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$