Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Sustituye $t$ por $x + h$ y deja que $t$ se acerque a $x$ ya que $lim_{h \to 0} x + h = x$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.5

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.6

Resta $\arctan (x)$ de $\arctan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \arctan (h)$ y $g (h) = x + h$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Como $- \arctan (x)$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \arctan (x)$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Suma $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5.2

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

Paso 4

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1}$