Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arccos (x)$ y $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Paso 2

Combina $x$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ por $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 5.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 5.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Paso 5.5.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Paso 5.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 5.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Paso 5.5.4

Resta $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 9.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 9.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\arccos (x) x$ en $\frac{1}{2}$ y en $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Paso 11.2

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $\frac{3}{4}$ y en $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Combina $\arccos (\frac{1}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3.3

Multiplica $0$ por $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3.4

Suma $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ y $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Paso 11.3.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Paso 11.3.7

Para escribir $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.3.8

Combina $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Paso 11.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Paso 11.3.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.11

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.12

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.3.12.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 11.3.12.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Paso 12.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Paso 12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Paso 12.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Paso 12.1.5

Para escribir $- 3^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.6

Combina $- 3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8

Multiplica $3^{\frac{1}{2}}$ por $3$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.8.1

Mueve $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.1.8.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.8.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Paso 12.1.9

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Paso 12.1.10

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Paso 12.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Paso 12.1.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Paso 12.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 12.3

Multiplica $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 12.3.1

Multiplica $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Paso 12.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Forma decimal:

$0.65757337 \dots$