Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Paso 1.1.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Paso 1.1.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Paso 3

Expande $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.4

Resta $2$ de $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.5

Simplifica.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.7

Resta $2$ de $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

Paso 3.10

Mueve $2$ .

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$