Cálculo Ejemplos

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 x + 3$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.5

Suma $1$ y $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 4.7

Combina $- \frac{3}{4}$ y $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Paso 4.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{3}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{16}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Paso 12.2

Simplifica.

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 3$ .

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$